La Suite de Fibonacci

Introduction

La suite de Fibonacci est l'une des séquences les plus fascinantes en mathématiques, à la fois pour sa simplicité et pour les nombreuses applications qu'elle a dans divers domaines tels que les sciences naturelles, l'informatique, la finance, etc. Cette suite a été introduite par le mathématicien Leonardo de Pise, plus connu sous le nom de Fibonacci, au 13ème siècle, dans son célèbre ouvrage "Liber Abaci".

Définition

La suite de Fibonacci est une séquence infinie d'entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes précédents. Elle commence généralement par les termes 0 et 1.

Ainsi, les premiers termes de la suite de Fibonacci sont :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Formulation Mathématique

Mathématiquement, la suite de Fibonacci peut être définie de manière récursive par les relations suivantes :

• F(0) = 0
• F(1) = 1
• F(n) = F(n-1) + F(n-2) pour n ≥ 2

Propriétés

1. Croissance exponentielle : Les termes de la suite de Fibonacci augmentent rapidement. Plus précisément, le rapport entre deux termes consécutifs tend vers le nombre d'or (φ), qui est environ égal à 1,618033988749895...
2. Formule explicite : Il existe une formule explicite pour calculer le n-ème terme de la suite de Fibonacci, connue sous le nom de "formule de Binet".
3. Périodicité modulo m : La suite de Fibonacci présente une périodicité modulo m, où m est un entier positif.

Applications

La suite de Fibonacci trouve de nombreuses applications dans divers domaines :

• Biologie : Elle est utilisée pour modéliser la croissance des populations d'animaux et de plantes.
• Informatique : Elle est utilisée dans de nombreux algorithmes, tels que l'algorithme de recherche rapide dans les arbres binaires et l'algorithme de Fibonacci pour générer des nombres aléatoires.
• Finance : Elle est utilisée dans l'analyse des marchés financiers et dans la modélisation des séries temporelles.

Conclusion

La suite de Fibonacci est une séquence mathématique intrigante qui a captivé l'imagination des mathématiciens et des scientifiques pendant des siècles. Sa structure simple, ses propriétés fascinantes et ses nombreuses applications en font un sujet d'étude passionnant dans le domaine des mathématiques et au-delà.

Exercice Fibonacci

Calculez le n^e terme de la suite de Fibonacci :

Entrez la valeur de n :