Cours sur les ensembles

Introduction

Les ensembles sont l'une des structures fondamentales des mathématiques. Ils sont utilisés pour regrouper des objets similaires et définir des relations entre eux. Comprendre les ensembles est essentiel dans de nombreux domaines des mathématiques, de la logique à l'analyse, en passant par la géométrie et la théorie des nombres.

Définitions

Un ensemble est une collection d'objets distincts, appelés éléments de l'ensemble. Les ensembles sont généralement représentés en énumérant leurs éléments entre accolades. Par exemple, l'ensemble des nombres naturels inférieurs à 5 peut être écrit comme suit :

$�=\{0,1,2,3,4\}$

Notation

La notation des ensembles est importante pour décrire leurs caractéristiques et leurs relations. Voici quelques symboles et notations couramment utilisés :

• $\in$ : Ce symbole signifie "appartient à". Par exemple, $�\in �$ signifie que l'élément $�$ est un élément de l'ensemble $�$.
• $\mathrm{\notin }$ : Ce symbole signifie "n'appartient pas à". Par exemple, $�\mathrm{\notin }�$ signifie que l'élément $�$ n'est pas un élément de l'ensemble $�$.
• $\subset$ : Ce symbole signifie "est un sous-ensemble de". Si chaque élément de l'ensemble $�$ est également un élément de l'ensemble $�$, alors $�$ est un sous-ensemble de $�$, ce qui est écrit comme $�\subset �$.
• $\subseteq$ : Ce symbole signifie "est un sous-ensemble de ou égal à". Cela signifie que $�$ peut être égal à $�$ ou être un sous-ensemble strict de $�$.
• $\cup$ : Ce symbole représente l'union de deux ensembles. L'union de deux ensembles $�$ et $�$ est l'ensemble de tous les éléments qui sont dans $�$, dans $�$, ou dans les deux. Cela est écrit comme $�\cup �$.
• $\cap$ : Ce symbole représente l'intersection de deux ensembles. L'intersection de deux ensembles $�$ et $�$ est l'ensemble de tous les éléments qui sont à la fois dans $�$ et dans $�$. Cela est écrit comme $�\cap �$.
• $\mathrm{\varnothing }$ : C'est le symbole pour l'ensemble vide, qui ne contient aucun élément.

Types d'ensembles

Il existe différents types d'ensembles en fonction de la nature de leurs éléments :

• Ensembles finis : Ce sont des ensembles qui contiennent un nombre fini d'éléments. Par exemple, l'ensemble des jours de la semaine est un ensemble fini.
• Ensembles infinis : Ce sont des ensembles qui contiennent un nombre infini d'éléments. Par exemple, l'ensemble des nombres entiers est un ensemble infini.
• Ensembles définis par extension : Ces ensembles sont définis en énumérant tous leurs éléments. Par exemple, $�=\{1,2,3,4,5\}$ est un ensemble défini par extension.
• Ensembles définis par compréhension : Ces ensembles sont définis par une propriété ou une règle que leurs éléments doivent satisfaire. Par exemple, $�=\{�\mid �\text{ est un nombre pair}\}$ est un ensemble défini par compréhension.

Opérations sur les ensembles

Les ensembles peuvent être combinés et manipulés à l'aide d'opérations spécifiques :

• Union : L'union de deux ensembles $�$ et $�$ est l'ensemble de tous les éléments qui sont dans $�$, dans $�$, ou dans les deux. $�\cup �=\{�\mid �\in �\text{ ou }�\in �\}$

• Intersection : L'intersection de deux ensembles $�$ et $�$ est l'ensemble de tous les éléments qui sont à la fois dans $�$ et dans $�$. $�\cap �=\{�\mid �\in �\text{ et }�\in �\}$

• Différence : La différence entre deux ensembles $�$ et $�$ est l'ensemble de tous les éléments qui sont dans $�$ mais pas dans $�$. $�-�=\{�\mid �\in �\text{ et }�\mathrm{\notin }�\}$

• Complémentaire : Le complémentaire d'un ensemble $�$ dans un ensemble de référence $�$ est l'ensemble de tous les éléments de $�$ qui ne sont pas dans $�$. ${�}^{\mathrm{\prime }}=�-�$

Conclusion

Les ensembles sont une partie essentielle des mathématiques, utilisés pour regrouper des objets et définir des relations entre eux. Comprendre les propriétés et les opérations sur les ensembles est crucial pour de nombreuses branches des mathématiques, ainsi que pour de nombreuses applications dans d'autres domaines tels que l'informatique, la physique et l'économie.