Introduction aux Suites Numériques

 

Les suites numériques sont des séquences de nombres réels ordonnés selon un certain schéma. Elles jouent un rôle essentiel en mathématiques, car elles permettent de modéliser de nombreux phénomènes dans divers domaines comme les sciences, l’économie et l’ingénierie. Dans cet article, nous allons explorer les concepts de base des suites numériques, leurs types et quelques propriétés importantes.

Définition et Notation

Une suite numérique est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels $\mathbb{𝑁}$ (ou une partie de $\mathbb{𝑁}$) à valeurs réelles. Si $𝑛$ est un entier naturel, on note ${𝑢}_{𝑛}$ l’élément de la suite à la position $𝑛$. La suite est souvent notée $({𝑢}_{𝑛})$.

Par exemple, $({𝑢}_{𝑛})=(2,4,6,8,10,\dots )$ est une suite où chaque terme est le double de son indice $𝑛$.

Types de Suites

Il existe plusieurs types de suites, parmi lesquelles les plus courantes sont les suites arithmétiques et les suites géométriques.

Suites Arithmétiques

Une suite arithmétique est une suite dans laquelle chaque terme est obtenu en ajoutant une constante au terme précédent. Cette constante est appelée la raison de la suite, notée $𝑟$.

Formellement, une suite arithmétique $({𝑢}_{𝑛})$ vérifie : ${𝑢}_{𝑛+1}={𝑢}_{𝑛}+𝑟$

L’expression générale d’une suite arithmétique est : ${𝑢}_{𝑛}={𝑢}_0+𝑛\times 𝑟$ où ${𝑢}_0$ est le premier terme de la suite.

Exemple : Considérons la suite $({𝑢}_{𝑛})$ définie par ${𝑢}_0=3$ et $𝑟=2$. Les premiers termes sont $3,5,7,9,\dots$.

Suites Géométriques

Une suite géométrique est une suite dans laquelle chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante appelée la raison, notée $𝑞$.

Formellement, une suite géométrique $({𝑢}_{𝑛})$ vérifie : ${𝑢}_{𝑛+1}={𝑢}_{𝑛}\times 𝑞$

L’expression générale d’une suite géométrique est : ${𝑢}_{𝑛}={𝑢}_0\times {𝑞}^{𝑛}$ où ${𝑢}_0$ est le premier terme de la suite.

Exemple : Considérons la suite $({𝑢}_{𝑛})$ définie par ${𝑢}_0=2$ et $𝑞=3$. Les premiers termes sont $2,6,18,54,\dots$.

Propriétés des Suites

Monotonie

Une suite $({𝑢}_{𝑛})$ est dite :

• Croissante si ${𝑢}_{𝑛+1}\ge {𝑢}_{𝑛}$ pour tout $𝑛$.
• Décroissante si ${𝑢}_{𝑛+1}\le {𝑢}_{𝑛}$ pour tout $𝑛$.
• Monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.

Borne

Une suite est majorée si tous ses termes sont inférieurs ou égaux à un certain nombre $𝑀$. Elle est minorée si tous ses termes sont supérieurs ou égaux à un certain nombre $𝑚$. Si une suite est à la fois majorée et minorée, elle est bornée.

Convergence

Une suite $({𝑢}_{𝑛})$ converge vers un réel $𝐿$ si, pour tout $𝜖>0$, il existe un entier $𝑁$ tel que pour tout $𝑛\ge 𝑁$, $\mathrm{\mid }{𝑢}_{𝑛}-𝐿\mathrm{\mid }<𝜖$. Si une suite converge, $𝐿$ est appelé la limite de la suite.

Conclusion

Les suites numériques sont un outil fondamental en mathématiques, utile pour comprendre et analyser des séries de données et des phénomènes naturels. En connaissant les propriétés des suites arithmétiques et géométriques, ainsi que les concepts de monotonie, borne et convergence, vous serez bien préparés pour aborder des problèmes plus complexes en mathématiques.

Exercices

1. Trouvez l’expression générale de la suite arithmétique dont le premier terme est 5 et la raison est 3.
2. Déterminez si la suite définie par ${𝑢}_{𝑛}=\frac{1}{𝑛+1}$ est croissante, décroissante ou ni l’un ni l’autre.
3. Calculez les cinq premiers termes de la suite géométrique de premier terme 7 et de raison $\frac{1}{2}$.

Bonne étude!