Cours sur les Groupes

 

Introduction

En mathématiques, un groupe est une structure algébrique fondamentale qui décrit des ensembles avec une opération binaire satisfaisant certaines propriétés. Les groupes sont omniprésents en mathématiques et en sciences, jouant un rôle crucial dans de nombreux domaines, y compris l'algèbre, la géométrie, la physique et l'informatique.

Définition Formelle

Un groupe est défini comme un ensemble $�$ muni d'une opération binaire $\cdot$ (habituellement notée multiplicativement) qui satisfait les quatre propriétés suivantes :

1. Clôture: Pour tout $�,�$ dans $�$, le produit $�\cdot �$ est également dans $�$.

2. Associativité: Pour tout $�,�,�$ dans $�$, $(�\cdot �)\cdot �=�\cdot (�\cdot �)$.

3. Élément neutre: Il existe un élément $�$ dans $�$, appelé élément neutre, tel que pour tout $�$ dans $�$, $�\cdot �=�\cdot �=�$.

4. Inverse: Pour chaque élément $�$ dans $�$, il existe un élément ${�}^{-1}$ dans $�$, appelé inverse de $�$, tel que $�\cdot {�}^{-1}={�}^{-1}\cdot �=�$, où $�$ est l'élément neutre.

Si un groupe satisfait également la propriété commutative (ou abélienne), c'est-à-dire si pour tout $�,�$ dans $�$, $�\cdot �=�\cdot �$, alors le groupe est appelé groupe abélien.

Exemples de Groupes

1. Le Groupe Additif des Entiers: L'ensemble des entiers relatifs $\mathbb{�}$ avec l'opération d'addition forme un groupe abélien.

2. Le Groupe Multiplicatif des Réels Non Nuls: L'ensemble des réels non nuls ${\mathbb{�}}^{\ast }$ avec l'opération de multiplication forme un groupe non abélien.

3. Le Groupe des Permutations: L'ensemble des permutations d'un ensemble fini, avec l'opération de composition de fonctions, forme un groupe non abélien.

4. Le Groupe des Matrices Inversibles: L'ensemble des matrices inversibles $��(�,\mathbb{�})$ avec l'opération de multiplication de matrices forme un groupe non abélien.

Propriétés Importantes des Groupes

1. Unicité de l'Élément Neutre: L'élément neutre d'un groupe est unique.

2. Unicité de l'Inverse: Chaque élément d'un groupe a un unique inverse.

3. Annulation: Si $�\cdot �=�\cdot �$, alors $�=�$, et si $�\cdot �=�\cdot �$, alors $�=�$.

4. Ordre d'un Élément: L'ordre d'un élément $�$ dans un groupe est le plus petit entier positif $�$ tel que ${�}^{�}=�$, où $�$ est l'élément neutre.

Sous-groupes et Homomorphismes

• Sous-groupe: Un sous-ensemble $�$ d'un groupe $�$ est un sous-groupe de $�$ si $�$ est lui-même un groupe par rapport à l'opération de $�$.

• Homomorphisme: Une application $�:�\to �$ entre deux groupes $�$ et $�$ est un homomorphisme si pour tout $�,�$ dans $�$, $�(�\cdot �)=�(�)\cdot �(�)$.

Conclusion

Les groupes sont des structures mathématiques fondamentales avec de nombreuses applications et implications dans divers domaines. Leur étude nous permet de comprendre les symétries, les transformations et les relations d'isomorphisme entre différents ensembles et structures algébriques.